Question

在二項式(

x

+

2

4 x

)n的展開式中只有第五項的二項式系數最大，把展開式中所有的項重新排成一列，則有理項都互不相鄰的概率為（　　）

• A、

  1

  6

• B、

  1

  4

• C、

  1

  3

• D、

  5

  12

Answer 1

考點：二項式系數的性質,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統計,排列組合,二項式定理

分析：由二項式系數的性質得到n的值，由通項公式可得展開式中的有理項的個數，求出9項的全排列數，由插空排列求出有理項都互不相鄰的排列數，最后由古典概型概率計算公式得答案．

解答：解：∵二項式(

x

+

2

4 x

)n的展開式中只有第五項的二項式系數最大，
∴二項式的二項展開式共有9項，則n=8．
其通項為Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

2

4 x

)r=2r•

C

r 8

•x

16-3r

4

，
當r=0，4，8時，項為有理項．
展開式的9項全排列共有

A

9 9

種，
有理項互不相鄰可把6個無理項全排，把3個有理項在形成的7個空中插孔即可，有

A

6 6

•

A

3 7

種．
∴有理項都互不相鄰的概率為

A 6 6 • A 3 7

A 9 9

=

5

12

．
故選：D．

點評：本題考查二項式系數的性質，考查簡單的排列組合知識，訓練了利用古典概型概率計算公式求概率，是中檔題．