Question

【題目】如圖，過(guò)點(diǎn)P作圓O的割線PBA與切線PE，E為切點(diǎn)，連接AE、BE，∠APE的平分線與AE、BE分別交于點(diǎn)C、D，其中∠AEB=30°．

（1）求證：
（2）求∠PCE的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PE是圓的切線，∴∠PEB=∠PAC，

∵AE是∠APE的平分線，∴∠EPC=∠APC，

∴△PED∽△PAC，

∴ = ，

∵ = ，

∴

（2）解：∵PE是圓的切線，∴∠PEB=∠PAC，

∵AE是∠APE的平分線，∴∠EPC=∠APC，

根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角關(guān)系有：∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC，

∴∠EDC=∠ECD，∴△EDC為等腰三角形，

又∠AEB=30°，

∴∠EDC=∠ECD=75°，即∠PCE=75°

【解析】（1）證明△PED∽△PAC，結(jié)合角平分線的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；（2）利用PE是圓的切線，可得∠PEB=∠PAC，利用AE是∠APE的平分線，可得∠EPC=∠APC，根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角關(guān)系，可得∠EDC=∠ECD，即可得出結(jié)論．