Question

D、E、F分別是△ABC的三條邊AB、BC、CA上的動點,且它們在初始時刻分別從A、B、C出發,各以一定速度沿各邊向B、C、A移動.當t=1時,分別到達B、C、A.求證:在0≤t≤1的任一時刻t₁,△DEF的重心不變.

Answer 1

圖11

證明:如圖11.

    建立如圖所示的平面直角坐標系,設A、B、C坐標分別為(0,0),(a,0),(m,n).

    在任一時刻t₁∈(0,1),因速度一定,其距離之比等于時間之比,有=λ,由定比分點的坐標公式可得D、E、F的坐標分別為(at₁,0),(a+(m-a)t₁,nt₁),(m-mt₁,n-nt₁).由重心坐標公式可得△DEF的重心坐標為().

當t=0或t=1時,△ABC的重心也為(),

故對任一t₁∈[0,1],△DEF的重心不變.

點評:主要考查定比分點公式及建立平面直角坐標系,只要證△ABC的重心和時刻t₁的△DEF的重心相同即可.