Question

【題目】已知函數．

(1)討論的單調性；

(2)若對于任意的，都有成立，求正整數k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）最大值為2.

【解析】

(1)求導得,因為,故分三種情況進行分類討論即可.
(2)帶入化簡可得,因為是關于的二次函數零點問題,故用判別式小于0恒成立,化簡得,

再設分析單調性,由于零點無法求出,故判斷零點的大致范圍,設為再分析即可.

(1)

①恒成立，在R上單調遞增.

②當令解得，

當，函數在上單調遞增，

當，函數在上單調遞減，

③當，解得

當，函數在上單調遞增，

當，函數在上單調遞減，

(2)對任意的成立，

即 成立，

即 恒成立

即 ，令，

令，在上單調遞增，

又，，在上有唯一零點，且，當為減函數，

當為增函數，，

，，恒成立

是正整數，或，的最大值為2.