Question

【題目】已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2經過橢圓Γ： + =1（a＞b＞0）的右焦點F和上頂點B．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）過原點O的射線l與橢圓Γ在第一象限的交點為Q，與圓C的交點為P，M為OP的中點，求 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，

令y=0，得F（2，0），即c=2，

令x=0，得B（0，2），即b=2，

∴a2=b2+c2=8，

∴橢圓Γ的方程為： ．

（2）解：設點Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，

則

=

=（1，1）（x0，y0）

=x0+y0，

又 ，

設b=x0+y0，與 聯立，得：

，

令△≥0，得16b2﹣12（12b2﹣8）≥0，

解得﹣2 ．

又點Q（x0，y0）在第一象限，

∴當 時， 取最大值2 ．

【解析】（1）在圓（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，令y=0，得F（2，0），令x=0，得B（0，2），由此能求出橢圓方程．（2）設點Q（x0 ， y0），x0＞0，y0＞0，則 = =x0+y0 ， 又 ，設b=x0+y0 ， 與 聯立，得： ，由此能求出 的最大值．