Question

(本小題滿分12分)

設直線l與拋物線y²=2px（p>0）交于A、B兩點，已知當直線l經過拋物線的焦點且與x軸垂直時，△OAB的面積為（O為坐標原點）．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）當直線l經過點P（a，0）（a>0）且與x軸不垂直時，

若在x軸上存在點C，使得△ABC為等邊三角形，求a

的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由條件可得，O點到AB距離為， …………………1分

∴，      ……………………………………3分

得： ， 

∴ 拋物線的方程為．                  …………………4分

（Ⅱ）設，，AB的中點為，

又設，直線l的方程為（）．

由，得．

∴，，．………………………7分

所以，從而．

∵為正三角形，∴，．

由，得，所以．………………9分

由，得，

即，

又∵，

∴，從而．…………………… 11分

∵，∴，∴．

∴的取值范圍．           ………………………………………12分