Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，BC上平面ABE，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）設(shè)點M為線段AB的中點，點N為線段CE的中點．求證：MN∥平面DAE．

Answer 1

分析：（1）由線面垂直的判定與性質(zhì)，結(jié)合題意證出AE⊥BC且AE⊥BF，可得AE⊥平面BCE，再結(jié)合BE?平面BCE，即可證出AE⊥BE；
（2）取DE的中點P，連接PA、PN，利用三角形中位線定理和矩形的性質(zhì)，證出PN∥AM且PN=AM，可得四邊形AMNP是平行四邊形，從而MN∥AP，結(jié)合線面平行判定定理，即可證出MN∥平面DAE．

解答：解：（1）∵BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，
∴AE⊥BC，…（2分）
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，
∴AE⊥BF，…（4分）
又∵BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE…（6分）
∵BE?平面BCE，∴AE⊥BE．       …（8分）
（2）取DE的中點P，連接PA、PN，因為點N為線段CE的中點．
所以PN∥DC，且PN=

1

2

DC，…（10分）
又∵四邊形ABCD是矩形，點M為線段AB的中點，
∴AM∥DC，且AM=

1

2

DC，
∴PN∥AM，且PN=AM，可得四邊形AMNP是平行四邊形，MN∥AP…（12分）
∵AP?平面DAE，MN?平面DAE，
∴MN∥平面DAE．　  …（14分）

點評：本題給出四棱錐，求證直線與直線垂直、直線與平面平行等知識，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定定理等知識，屬于中檔題．