Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上．離心率為

1

2

，點(diǎn)P（x，y）是橢圓上的一個動點(diǎn)，若2x+

3

y的最大值為10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：由橢圓離心率為

1

2

，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程

x=2ccosθ y= 3 csinθ

，依題意可求得c的值，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：離心率為

1

2

，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，它的參數(shù)方程為

x=2ccosθ y= 3 csinθ

，（θ是參數(shù)）
∴2x+

3

y=4ccosθ+3csinθ=5csin（θ+φ）的最大值是5c，
依題意，5c=10，c=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

16

+

y2

12

=1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的簡單性質(zhì)，考查其參數(shù)方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．