Question

在數列{a_n}中，（c為常數，n∈N*），且a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數列．
（Ⅰ）求證：數列是等差數列；
（Ⅱ）求c的值；
（Ⅲ）設b_n=a_na_n+1，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為，所以a_n≠0，
則，又c為常數，
∴數列是等差數列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
∵a₁=1，∴a₂=，a₅=，
∵a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數列，所以，
解得c=0或c=2，當c=0時，a_n=a_n+1，不滿足題意，舍去，
所以c的值為2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知c=2，∴，
b_n=a_na_n+1==，
所以數列{b_n}的前n項和
S_n==
分析：（Ⅰ）通過已知條件，方程去倒數，即可推出數列滿足等差數列的定義，說明數列是等差數列；
（Ⅱ）通過第一問，直接求出a₁，a₂，a₅，利用等比數列直接求出c的值；
（Ⅲ）通過第二問，求出a_n，然后利用b_n=a_na_n+1，通過裂項法直接求數列{b_n}的前n項和S_n．
點評：本題考查等比數列與等差數列的綜合應用，數列的遞推關系式的應用，裂項法求和，考查分析問題解決問題的能力．