Question

已知圓錐曲線

x=3cosθ y=2 2 sinθ

(θ是參數）和定點A(0，

3

3

)，F₁、F₂是圓錐曲線的左、右焦點．
（1）求經過點F₂且垂直地于直線AF₁的直線l的參數方程；
（2）以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AF₂的極坐標方程．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函數中的平方關系消去參數θ即可將圓錐曲線化為普通方程，從而求出其焦點坐標，再利用直線的斜率求得直線l的傾斜角，最后利用直線的參數方程形式即得．
（2）設P（ρ，θ）是直線AF₂上任一點，利用正弦定理列出關于ρ，θ的關系式，化簡即得直線AF₂的極坐標方程．

解答：解：（1）圓錐曲線

x=3cosθ y=2 2 sinθ

化為普通方程

x2

9

+

y2

8

=1，
所以F₁（-1，0），F₂（1，0），則直線AF₁的斜率k=

3

3

，
于是經過點F₂垂直于直線AF₁的直線l的斜率k1=-

3

，直線l的傾斜角是120°，
所以直線l的參數方程是

x=1+tcos120° y=tsin120°

（t為參數），
即

x=- 1 2 t+1 y= 3 2 t

（t為參數）．（6分）
（2）直線AF₂的斜率k=-

3

3

，傾斜角是150°，
設P（ρ，θ）是直線AF₂上任一點，
則

ρ

sin30°

=

1

sin(150°-θ)

，ρsin（150°-θ）=sin30°，（8分）
所以直線AF₂的極坐標方程：

3

ρsinθ+ρcosθ=1．（10分）

點評：本小題主要考查簡單曲線的極坐標方程、直線的參數方程、橢圓的參數方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想．屬于基礎題．