Question

【題目】已知△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且tanA，tanB是關于x的方程x2+（1+p）x+p+2=0的兩個根，c=4．
（1）求角C的大�。�
（2）求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵tanA，tanB是關于x的方程x2+（1+p）x+p+2=0的兩個根，

∴tanA+tanB=﹣1﹣p，tanAtanB=p+2，

∴tan（A+B）= = =1，

∴在△ABC中，A+B= ，

∴C=

（2）解：∵C= ，c=4，c2=a2+b2﹣2abcosC，

∴42=a2+b2﹣2ab×（﹣ ），整理可得：16﹣ =a2+b2，

又∵a＞0，b＞0，

∴16﹣ =a2+b2≥2ab，可得：ab≤ ，當且僅當a=b時取等號，

∴S△ABC= absinC= ab× ≤ × = =4 ﹣4，

∴△ABC的面積的取值范圍為（0，4 ﹣4）

【解析】（1）由已知可得tanA+tanB=﹣1﹣p，tanAtanB=p+2，利用兩角和的正切函數公式可求tan（A+B）=1，可求A+B= ，利用三角形內角和定理可求C的值．（2）由已知及余弦定理可求16﹣ =a2+b2，結合基本不等式可得ab≤ ，當且僅當a=b時取等號，利用三角形面積公式即可得解．
【考點精析】本題主要考查了兩角和與差的正切公式和余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握兩角和與差的正切公式：；余弦定理:;;才能正確解答此題．