Question

【題目】已知函數f（x）=2cos（ ﹣x）sinx+（sinx+cosx）2 ．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）把y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移 個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=2cos（ ﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．

化簡得：f（x）=2sinxsinx+1+2sinxcosx

=2sin2x+sin2x+1

=2（ cos2x）+sin2x+1

= sin（2x﹣ ）+2

由正弦函數的圖象及性質．

可得：2x﹣ ∈[ ， ]是單調增區間，即 ≤2x﹣ ≤ ，k∈Z．

解得： ≤x≤ ，

所以：函數f（x）的單調遞增區間是[ ， ]，（k∈Z）

（2）解：由（1）可得f（x）= sin（2x﹣ ）+2，把y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到y= sin（x﹣ ）+2的圖象，再把得到的圖象向左平移 個單位，得到g（x）= sin（x+ ）+2的圖象．

∴ = sin（ ）+2= sin +2=3

所以 的值為：3

【解析】（1）將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；（2）根據三角函數的圖象平移變換規律，求出g（x）的解析式，在求 的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識，掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．