Question

設函數f（x）=（2-a）lnx+

1

x

+2ax．
（Ⅰ）當a=0時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當a≠0時，求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）當a=2時，對任意的正整數n，在區間[

1

2

，6+n+

1

n

]上總有m+4個數使得f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立，試問：正整數m是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），當a=0時，f（x）=2lnx+

1

x

，可求得f′（x）=

2x-1

x2

，將f（x），f′（x）隨x變化情況列表即可求得f（x）的極值；
（2）由題意，g（x）=（2-a）lnx+2ax，在[1，+∞）上單調遞增?g′（x）=

2-a

x

+2a≥0在[1，+∞）上恒成立，設h（x）=2ax+2-a≥0在[1，+∞）上恒成立，對a分a=0，a＞0，a＜0討論即可求得答案；
（3）由題意得，f′（x）=

2ax2+(2-a)x-1

x2

，令f′（x）=0得x₁=-

1

a

，x₂=

1

2

，對a分a＞0，a＜0（對a再分a＜-2，a=-2，-2＜a＜0）討論即可求得答案．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．
當a=0時，f（x）=2lnx+

1

x

，故f′（x）=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

，
由f′（x）=0得x=

1

2

．
f（x），f′（x）隨x變化如下表：

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，+∞）
f（x）	-	0	+
f′（x）	↘	極小值	↙

故a=0時，f（x）極小值=f（

1

2

）=2-2ln2，沒有極大值；
（2）由題意，f′（x）=

2ax2+(2-a)x-1

x2

令f′（x）=0，解得x1=- 

1

a

，x2=

1

2

．
若a＞0，由f′（x）≤0得x∈（0，

1

2

]；由f′（x）≥0得x∈[

1

2

，+∞）．
若a＜0，①當a＜-2時，-

1

a

＜

1

2

，x∈（0，-

1

a

]或x∈[

1

2

，+∞），f′（x）≤0；x∈[-

1

a

，

1

2

]，f′（x）≥0，
②當a=-2時，f′（x）≤0恒成立．
③當-2＜a＜0時，-

1

a

＞

1

2

，x∈（0，

1

2

]或x∈[-

1

a

，+∞），f′（x）≤0；x∈[

1

2

，-

1

a

]，f′（x）≥0．
綜上，當a＞0時，函數的單調遞減區間為（0，

1

2

]，單調遞增區間為[

1

2

，+∞）；
當-2＜a＜0時，函數的單調遞減區間為（0，

1

2

]，[-

1

a

，+∞），單調遞增區間為[-

1

2

，-

1

a

]；
當a=-2時，函數的單調遞減區間為（0，+∞），無單調遞增區間；
當a＜-2時，函數的單調遞減區間為（0，-

1

a

]，[

1

2

，+∞），單調遞增區間為[-

1

a

，

1

2

]．
（3）當a=2時，f（x）=

1

x

+4x，f′（x）=

4x2-1

x2

．
∵x∈[

1

2

，6+n+

1

n

]，∴f′（x）≥0
∴f（x）min=f（

1

2

）=4，f（x）max=f（6+n+

1

n

）
由題意，mf(

1

2

)＜4f(6+n+

1

n

)恒成立．
令k=6+n+

1

n

≥8，且f（k）在[6+n+

1

n

，+∞）上單調遞增，
∴fmin(k)=32

1

8

，因此m＜32

1

8

，而m是正整數，故m≤32，
所以，m=32時，存在a₁=a₂=…=a₃₂=

1

2

，a_m+1=a_m+2=a_m+3=a_m+4=8時，對所有n滿足題意，∴m_max=32．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值與單調性，考查分類討論的數學思想，考查恒成立問題，正確求導是關鍵．