Question

設函數f（x）=e^x-ax-2．
（1）求函數y=f（x）的單調區間；
（2）若a=1且x∈[2，+∞），求f（x）的最小值；
（3）在（2）條件下，（x-k）f′（x）+x+1＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求函數的導數，利用導數求函數y=f（x）的單調區間；
（2）求函數的導數，利用導數求f（x）的最小值；
（3）將不等式恒成立轉化為最值恒成立，構造函數求函數的最值即可．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-ax-2，定義域是R，
∴f′（x）=e^x-a；
若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）在R上遞增，f（x）的單調增區間是R，無減區間； 
若a＞0，當f′（x）＞0時，有x＞lna，故f（x）遞增，
當f′（x）＜0時，有x＜lna，故f（x）遞減，
∴f（x）的單調增區間是（lna，+∞），
單調減區間是（-∞，lna）．
（2）當a=1時，f′（x）=e^x-1，
又x∈[2，+∞），∴f′（x）＞0；
∴f（x）在[2，+∞）上是增函數；
∴f（x）在[2，+∞）上的最小值為f（x）_min=e²-4．
（3）當a=1，且x∈[2，+∞）時，
（x-k）f′（x）x+1=（x-k）（e^x-1）x+1＞0等價于
k＜

1

x(ex-1)

+x（其中x≥2）
令g（x）=

1

x(ex-1)

+x（其中x≥2），
則k＜g（x）_min恒成立．
又g（x）_min=

2e2+1

e2-1

，
∴k＜

2e2+1

e2-1

．

點評：本題主要考查函數的單調性和導數之間的關系，考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．