Question

如圖，圓柱內有一個三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內接三角形，且AB是圓O直徑。

（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）設AB=，在圓柱內隨機選取一點，記該點取自于三棱柱內的概率為。
（i）當點C在圓周上運動時，求的最大值；
（ii）記平面與平面所成的角為，當取最大值時，求的值。

Answer 1

（Ⅰ）因為平面ABC，平面ABC，所以，
因為AB是圓O直徑，所以，又，所以平面，
而平面，所以平面平面。
（Ⅱ）（i）設圓柱的底面半徑為，則AB=，故三棱柱的體積為
=，又因為，
所以=，當且僅當時等號成立，
從而，而圓柱的體積，
故=當且僅當，即時等號成立，
所以的最大值是。
（ii）由（i）可知，取最大值時，，于是以O為坐標原點，建立空間直角坐標系（如圖），則C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），
因為平面，所以是平面的一個法向量，
設平面的法向量，由，故，
取得平面的一個法向量為，因為，
所以。