Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，點是橢圓上的一個動點，當直線的斜率等于時，軸.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點且斜率為的直線與直線相交于點，試判斷以為直徑的圓是否過軸上的定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）首先根據題設給的點的特殊位置，建立關于的等式，再通過解方程求出，從而得到所求標準方程；（Ⅱ）首先根據條件利用直線方程的點斜式得到直線的方程，并利用橢圓方程整理化簡方程，然后求出點的坐標，再根據圓的知識轉化成向量垂直，進而求出定點坐標.

（Ⅰ）依題意，

又因為， 所以，解得.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）直線的方程：即，

依題意，有，即，

所以的方程為，所以點，

設定點，由，

即，所以，

綜上，存在定點符合條件.