Question

【題目】已知f（x）=a（x﹣lnx）+ ，a∈R．
（I）討論f（x）的單調性；
（II）當a=1時，證明f（x）＞f′（x）+ 對于任意的x∈[1，2]成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+ ，

得f′（x）=a（1﹣ ）+

= = （x＞0）．

若a≤0，則ax2﹣2＜0恒成立，

∴當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，

當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；

當a＞0，若0＜a＜2，當x∈（0，1）和（ ，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，

當x∈（1， ）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；

若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上為增函數；

若a＞2，當x∈（0， ）和（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，

當x∈（ ，1）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；

（Ⅱ）解：∵a=1，

令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx ﹣1 =x﹣lnx+ ．

令g（x）=x﹣lnx，h（x）= ．

則F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），

由 ，可得g（x）≥g（1）=1，當且僅當x=1時取等號；

又 ，

設φ（x）=﹣3x2﹣2x+6，則φ（x）在[1，2]上單調遞減，

且φ（1）=1，φ（2）=﹣10，

∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0） 時φ（x0）＞0，x∈（x0，2）時，φ（x0）＜0，

∴函數h（x）在（1，x0）上單調遞增；在（x0，2）上單調遞減，

由于h（1）=1，h（2）= ，因此h（x）≥h（2）= ，當且僅當x=2取等號，

∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）= ，

∴F（x）＞ 恒成立．

即f（x）＞f′（x）+ 對于任意的x∈[1，2]成立

【解析】（Ⅰ）求出原函數的導函數，然后對a分類分析導函數的符號，由導函數的符號確定原函數的單調性；（Ⅱ）構造函數F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=x﹣lnx，h（x）= ．則F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），利用導數分別求g（x）與h（x）的最小值得到F（x）＞ 恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+ 對于任意的x∈[1，2]成立．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．