Question

【題目】己知函數f（x）= （其中e為自然對數的底數），h（x）=x﹣ ．
（I）求函數f（x）的單調區間；
（II）設g（x）= ，．已知直線y= 是曲線y=f（x）的切線，且函數g（x）在（0，+∞）上是增函數．
（i）求實數a的值；
（ii）求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ，

∴ ，

①當a＞0時，

在x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）時，f'（x）＜0，在x∈（0，2）時，f'（x）＞0，

故f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上是減函數，在（0，2）上是增函數；

②當a＜0時，

在x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）時，f'（x）＞0，在x∈（0，2）時，f'（x）＜0，

故f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上是增函數，在（0，2）上是減函數；

（Ⅱ）（i）對f（x）求導，得 ，

設直線 與曲線y=f（x）切于點P（x0，y0），

則 解得a=x0=1，∴a=1

（ii）記函數（x）=f（x）﹣h（x）= ，x＞0，

求導，得 ，

當x≥2時，'（x）＜0恒成立，

當0＜x＜2時， ，

∴ ，

∴'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故（x）在（0，+∞）上單調遞減．

又 ， ，

曲線（x）=f（x）﹣h（x）在[1，2]上連續不間斷，

∴由函數的零點存在性定理及其單調性知，唯一的x0∈（1，2），使（x0）=0．

∴當x∈（0，x0）時，（x）＞0，當x∈（x0，+∞）時，（x）＜0．

∴當x＞0時， =

求導，得

由函數g（x）在（0，+∞）上是增函數，且曲線y=g（x）在（0，+∞）上連續不斷知：

g'（x）≥0在（0，x0]，（x0，+∞）上恒成立．

①當x∈（x0，+∞）時， ﹣2cx≥0在（x0，+∞）上恒成立，

即 在（x0，+∞）上恒成立，

記 ，x＞x0，則 ，x＞x0，

當 x變化時，u'（x），u（x）變化情況列表如下：

x	（x0，3）	3	（3，+∞）
u'（x）	﹣	0	+
u（x）	↓	極小值	↑

∴u（x）min=u（x）極小值=u（3）= ，

故“ 在（x0，+∞）上恒成立”，只需2c≤u（x）min= ，即 ．

②當x∈（0，x0]時，g'（x）=1+ ﹣2cx，

當c≤0時，g'（x）＞0在x∈（0，x0]上恒成立，

綜合①②知，當 時，函數g（x）在（0，+∞）上是增函數．

故實數c的取值范圍是

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）（i）根據切線方程求出a的值即可；（ii）問題轉化為 在（x0，+∞）上恒成立，根據函數的單調性求出c的范圍即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．