Question

【題目】已知函數f（x）= （x∈R），如圖是函數f（x）在[0，+∞）上的圖象，
（1）求a的值，并補充作出函數f（x）在（﹣∞，0）上的圖象，說明作圖的理由；
（2）根據圖象指出（不必證明）函數的單調區間與值域；
（3）若方程f（x）=lnb恰有兩個不等實根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵由圖象可知f（1）= =2，∴a=4

∴f（x）= ，

∵f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），

∴f（x）是奇函數，其圖象關于原點對稱，

補充圖象如圖：

（2）解：由圖象知函數的單調遞增區間為為（﹣1，1），單調遞減區間為（﹣∞，﹣1]，[1，+∞），值域為[﹣2，2]
（3）解：由圖象知，若方程f（x）=lnb恰有兩個不等實根，

則0＜lnb＜2或﹣2＜lnb＜0，

即1＜b＜e2或e﹣2＜b＜1，

則b的取值范圍是1＜b＜e2或e﹣2＜b＜1

【解析】（1）根據條件先求出a的值，結合函數奇偶性的定義判斷函數的奇偶性即可．（2）結合函數的圖象進行判斷求解即可．（3）根據圖象結合方程f（x）=lnb恰有兩個不等實根，得到關于b的關系即可得到結論．