Question

【題目】設數列（）的各項均為正整數，且.若對任意，存在正整數使得，則稱數列具有性質.

（1）判斷數列與數列是否具有性質；（只需寫出結論）

（2）若數列具有性質，且，，，求的最小值；

（3）若集合，且（任意，）.求證：存在，使得從中可以選取若干元素（可重復選取）組成一個具有性質的數列.

Answer 1

【答案】（1）數列不具有性質；數列具有性質（2）的最小值為（3）證明見解析

【解析】

（1）不滿足存在正整數使得，故數列不具有性質；根據定義可知數列具有性質；

（2）由題可知，，，，，所以，再驗證可知時，數列不具有性質，時，數列具有性質，從而可知的最小值為；

（3）反證法：假設結論不成立，即對任意都有：若正整數，則，再根據定義推出矛盾，從而可證結論正確.

（1）數列不具有性質；數列具有性質.

（2）由題可知，，，，，

所以.

若，因為且，所以.

同理，

因為數列各項均為正整數，所以.所以數列前三項為.

因為數列具有性質，只可能為之一，而又因為，

所以.

同理，有.

此時數列為.

但數列中不存在使得，所以該數列不具有性質.

所以.

當時，取.（構造數列不唯一）

經驗證，此數列具有性質.

所以，的最小值為.

（3）反證法：假設結論不成立，即對任意都有：若正整數，則.

否則，存在滿足：存在，使得，此時，從中取出：

當時，是一個具有性質的數列；

當時，是一個具有性質的數列；

當時，是一個具有性質的數列.

（i）由題意可知，這個集合中至少有一個集合的元素個數不少于個，

不妨設此集合為，從中取出個數，記為，且.

令集合.

由假設，對任意，，所以.

（ii）在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設這個集合為，

從中取出個數，記為，且.

令集合.

由假設.對任意，存在使得.

所以對任意，，

由假設，所以，所以，所以.

（iii）在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設這個集合為，

從中取出個數，記為，且.

令集合.

由假設.對任意，存在使得.

所以對任意，，

同樣，由假設可得，所以，所以.

（iv）類似地，在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設這個集合為，

從中取出個數，記為，且，

則.

（v）同樣，在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設這個集合為，

從中取出個數，記為，且，同理可得.

（vi）由假設可得.

同上可知，，

而又因為，所以，矛盾.所以假設不成立.

所以原命題得證.