Question

【題目】已知橢圓： ，過點作圓的切線交橢圓于、兩點．

（Ⅰ）求橢圓的焦點坐標和離心率；

（Ⅱ）將表示成的函數，并求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）的最大值為2.

【解析】試題分析： 由題意及橢圓和圓的標準方程，利用橢圓離心率的定義和點到直線的距離公式即可求解；

由題意推出，通過當 ，當時，設切線方程為

，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理弦長公式以及圓的圓心到直線的距離等于半徑，轉化求解，利用基本不等式求出最值即可。

解析：（Ⅰ）橢圓的半長軸長，半短軸長，半焦距，

焦點坐標是， ，離心率是；

（Ⅱ）易知，當時，切線方程為或，

此時

當時，易知切線方程斜率不為0，可設切線的方程為： ，

即，則，得： ①

聯立： ，得： ，整理：

其中

②

代入②：，

而，等號成立當且僅當，

即時．

綜上， 的最大值為2.