Question

【題目】如圖，已知橢圓的右準線的方程為，焦距為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過定點作直線與橢圓交于點（異于橢圓的左、右頂點）兩點，設直線與直線相交于點.

①若，試求點的坐標；

②求證：點始終在一條直線上.

Answer 1

【答案】（1）點的坐標為， 的坐標為（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；（2）①求得直線MA1的方程和以MA2的方程，代入橢圓方程，求得交點P，Q的坐標；②設點M（x0，y0），求得直線MA1的方程和以MA2的方程，代入橢圓方程，求得交點P，Q的坐標，結(jié)合P，Q，B三點共線，所以kPB=kQB，化簡整理，可得或．分別考慮，即可得到點M始終在一條定直線x=4上．

試題解析：

⑴由得 所以橢圓的方程為．

⑵①因為， ， ，所以的方程為，代入，

，即，

因為，所以，則，所以點的坐標為．

同理可得點的坐標為．

②設點，由題意， ．因為， ， 所以直線的方程為，代入，得，

即，因為，

所以，則，故點的坐標為．

同理可得點的坐標為．

因為， ， 三點共線，所以， ．

所以，即，

由題意， ，所以．

即．

所以，則或．若，則點在橢圓上， ， ， 為同一點，不合題意．故，即點始終在定直線上.