Question

已知數列A：a₁，a₂，…an，滿足a_i∈{0，1}（i=1，2，…，n）．定義變換T：T將數列A中原有的每個1都變成0，1，原有的每個0都變成1，0．若A₀為0，1．A_k=T（A_k-1）（k=1，2，…）．
（1）若A_k中的0的個數為b_k，Sn=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．
（2）記A_k中連續兩項都是0的數對個數對a_k，求a_k．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出b₁=2，b2=22，b3=23，…，bn=2n．由此能求出S_n=b₁+b₂+…+b_n．
（2）設A_k中有b_k個01數對，a_k+1=b_k，A_k+1中的01數對有兩個產生途徑：①由A_k中的1得到；②由A_k中00得到，從而得到bk+1=ak+2k，ak+2=ak+2k，a₁=a₂=1．當k≥3時，分類討論能求出a_k．

解答： 解：（1）∵A₀={0，1}，
∴A₁={1，0，0，1}，b₁=2；
A₂={0，1，1，0，1，0，0，1}，b2=22；
A₃={1，0，0，1，0，1，1，0，0，1，1，0，1，0，0，1}，b3=23；
…，bn=2n．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2+2²+2³+…+2ⁿ
=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．
（2）設A_k中有b_k個01數對，
A_k+1中的00數對只能由A_k中的01數對得到，∴a_k+1=b_k，
A_k+1中的01數對有兩個產生途徑：①由A_k中的1得到；②由A_k中00得到，
由變換T的定義及A₀：0，1可得A_k中0和1的個數總相等，且共有2^k+1個，
∴bk+1=ak+2k，
∴ak+2=ak+2k，
由A₀：0，1可得A₁：1，0，0，1，A₂：0，1，1，0，1，0，0，1，
∴a₁=a₂=1；
當k≥3時，
若k為偶數，ak=ak-2+2k-2，
ak-2=ak-4+2k-4，
…
a4=a2+22，
上述各式相加可得ak=1+22+24+…+2k-2
=

1-4 k-1 2

1-4

=

1

3

(2k-1)，
經檢驗，k=2時，也滿足ak=

1

3

(2k-1)；
若k為奇數，ak=ak-2+2k-2，
ak-2=ak-4+2k-4，
…
a₃=a₁+2，
上述各式相加可得a_k=1+2+2³+…+2^k-2
=1+

2(1-4 k-1 2 )

1-4

=

1

3

(2k+1)，
經檢驗，k=1時，也滿足ak=

1

3

(2k+1)，
∴a_k=

1 3 (2k+1)，k為奇數 1 3 (2k-1)，k為偶數

．

點評：本題考查數列的前n項和的求法，考查數列的通項公式的求法，是難題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．