Question

已知：P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足

PA

+

PB

+

PC

=

0

，且

PA

與

PB

的夾角等于135°，

PB

與

PC

的夾角等于120°，若|

PC

|=4．
（1）求|

PA

|；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由

PA

+

PB

+

PC

=

0

，可得

PC

=-(

PA

+

PB

)，

PA

=-(

PB

+

PC

)，于是

PC

2=

PA

2+

PB

2+2

PA

•

PB

，

PA

2=

PB

2+

PC

2+2

PB

•

PC

．聯(lián)立解得即可．
（2）設(shè)AC邊的中點(diǎn)為D，則

PA

+

PC

=2

PD

，又

PA

+

PB

+

PC

=

0

，可得點(diǎn)P為△ABC的重心．于是S_△ABC=3S_△PAC，即可得出．

解答： 解：（1）由

PA

+

PB

+

PC

=

0

，∴

PC

=-(

PA

+

PB

)，

PA

=-(

PB

+

PC

)，
∴

PC

2=

PA

2+

PB

2+2

PA

•

PB

，

PA

2=

PB

2+

PC

2+2

PB

•

PC

．
∵

PA

與

PB

的夾角等于135°，

PB

與

PC

的夾角等于120°，|

PC

|=4．
∴16=

PA

2+

PB

2+2|

PA

| |

PB

|cos135°，

PA

2=

PB

2+16+8|

PB

|cos120°，解得|

PA

|=2

6

．
（2）設(shè)AC邊的中點(diǎn)為D，則

PA

+

PC

=2

PD

，又

PA

+

PB

+

PC

=

0

，∴

PB

+2

PD

=

0

，即點(diǎn)P為△ABC的重心．
∴S_△ABC=3S_△PAC，
∵S_△PAC=

1

2

|

PA

| |

PC

|sin105°=

1

2

×2

6

×4×

6 + 2

4

=6+2

3

．

點(diǎn)評：本題考查了向量的三角形法則、數(shù)量積的定義及其性質(zhì)、三角形的重心性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．