Question

【題目】已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)的直線分別交橢圓于和，且，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）由條件建立關(guān)于的方程組，可求得，得出橢圓的方程；

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可求得，求得，②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè) 聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出線段，再由得出線段，根據(jù)等差中項(xiàng)可求得，得出結(jié)論.

（1）由條件得，所以橢圓的方程為：；

（2），

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí),

②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè),聯(lián)立 消元得，

設(shè)，

，

直線的斜率為，同理可得

，

所以，

綜合①②，存在常數(shù)，使得成等差數(shù)列.