Question

（2009•上海模擬）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為y=±

3

3

x，左焦點為F，過A（a，0），B（0，-b）的直線為l，原點到直線l的距離是

3

2

．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線y=x+m交雙曲線于不同的兩點C，D，問是否存在實數m，使得以CD為直徑的圓經過雙曲線的左焦點F．若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據雙曲線的漸近線方程及原點到直線l的距離是

3

2

，即可求雙曲線的標準方程；
（2）以CD為直徑的圓經過雙曲線的左焦點F，可知

FC

•

FD

=0．將直線方程與雙曲線方程聯立，可得一元二次方程，利用韋達定理可將向量關系轉化為坐標關系，從而得解．

解答：解：（1）∵

b

a

=

3

3

，（2分）
原點到直線AB：

x

a

-

y

b

=1的距離，d=

ab

a2+b2

=

ab

c

=

3

2

．（4分）
∴b=1，a=

3

．故所求雙曲線方程為 

x2

3

-y2=1．（6分）
（2）把y=x+m代入x²-3y²=3中消去y，整理得 2x²+6mx+3m²+3=0．（8分）
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x1+x2=-3m， x1x2=

3m2+3

2

，F（-2，0），
因為以CD為直徑的圓經過雙曲線的左焦點F，所以

FC

•

FD

=0，（10分）
可得  （x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0把y₁=x₁+m，y₁=x₁+m代入，
解得：m=3±

2

（13分）
解△＞0，得m²＞2，
∴m=3±

2

滿足△＞0，
∴m=3±

2

（14分）

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查雙曲線的標準方程求解，考查直線與雙曲線的位置關系，應注意判別式的驗證．