Question

已知函數f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直線m:y=kx+9,且f′(-1)=0.

(1)求a的值.

(2)是否存在k的值,使直線m既是曲線y=f(x)的切線,又是曲線y=g(x)的切線?如果存在,求出k的值;如果不存在,說明理由.

 

Answer 1

(1) a=-2 (2) 公切線是y=9,此時k=0

【解析】(1)f'(x)=3ax2+6x-6a,f'(-1)=0,

即3a-6-6a=0,∴a=-2.

(2)存在.∵直線m恒過定點(0,9),直線m是曲線y=g(x)的切線,設切點為(x0,3+6x0+12),

∵g'(x0)=6x0+6,

∴切線方程為y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),將點(0,9)代入,得x0=±1,

當x0=-1時,切線方程為y=9;

當x0=1時,切線方程為y=12x+9.

由f'(x)=0得-6x2+6x+12=0,

即有x=-1或x=2,

當x=-1時,y=f(x)的切線方程為y=-18;

當x=2時,y=f(x)的切線方程為y=9.

∴公切線是y=9.

又令f'(x)=12得-6x2+6x+12=12,

∴x=0或x=1.

當x=0時,y=f(x)的切線方程為y=12x-11;

當x=1時,y=f(x)的切線方程為y=12x-10,

∴公切線不是y=12x+9.

綜上所述公切線是y=9,此時k=0.