Question

數列{a_n}的前n項的和為S_n，對于任意的自然數a_n＞0，
（Ⅰ）求證：數列{a_n}是等差數列，并求通項公式
（Ⅱ）設，求和T_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵4S₁=4a₁=（a₁+1）²，∴a₁=1．
當n≥2時，4a_n=4S_n-4S_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
∴2（a_n+a_n-1）=a_n²-a_n-1²，
又{a_n}各項均為正數，∴a_n-a_n-1=2，
∴數列{a_n}是等差數列，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）解：=
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=++…+---①
∴T_n=++…++---②
①-②T_n=+2（++…+）-=
∴T_n=1-．
分析：（Ⅰ）令n=1求出首項，然后根據4a_n=4S_n-4S_n-1進行化簡得a_n-a_n-1=2，從而得到數列{a_n}是等差數列，直接求出通項公式即可；
（Ⅱ）確定數列通項，利用錯位相減法，可求數列的和．
點評：本題主要考查了數列的遞推關系，考查數列的通項與求和，確定數列的通項是關鍵．