Question

(本小題滿分14分)
已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，且橢圓上的點(diǎn)到的最小距離為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中垂線交軸于，求m的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）．  （Ⅱ）.  

本試題主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，以及橢圓方程的求解的綜合運(yùn)用。
（1）因?yàn)橛深}意知，橢圓中參數(shù)c和a的值得到橢圓方程的求解。
（2）根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，對于斜率要分類討論是否存在，然后結(jié)合直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和中點(diǎn)公式得到中垂線方程求解。
解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓為，，
，，故橢圓的方程為．    4分
（Ⅱ）①當(dāng)的斜率不存在時，線段的中垂線為軸，；  8分
②當(dāng)的斜率存在時，設(shè)的方程為，代入得：
，由得， 10分
設(shè)，則，，
，
∴線段的中點(diǎn)為，中垂線方程為，
12分
令得. 由，易得.
綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 14分