Question

某地開發了一個旅游景點，第1年的游客約為100萬人，第2年的游客約為120萬人．某數學興趣小組綜合各種因素預測：①該景點每年的游客人數會逐年增加；②該景點每年的游客都達不到130萬人．該興趣小組想找一個函數y=f（x）來擬合該景點對外開放的第x（x≥1）年與當年的游客人數y（單位：萬人）之間的關系．
（1）根據上述兩點預測，請用數學語言描述函數y=f（x）所具有的性質；
（2）若f（x）=

m

x

+n，試確定m，n的值，并考察該函數是否符合上述兩點預測；
（3）若f（x）=a•b^x+c（b＞0，b≠1），欲使得該函數符合上述兩點預測，試確定b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）預測①描述的是函數的單調性，預測②描述的是函數的最值，可以轉化成恒成立來描述，從而可以從單調性和恒成立來描述；
（2）根據題意可知，點（1，100）和（2，120）均在函數f（x）上，代入即可求得m，n的值，確定函數f（x）=-

40

x

+140，根據反比例函數的性質，即可確定f（x）的單調性，和f（x）的取值范圍，對應預測①②，即可判斷出答案；
（3）根據題意可知，點（1，100）和（2，120）均在函數f（x）上，代入即可求得a與b的關系，c與b的關系，將a和c都用b來表示，得到f（x）的解析式，要滿足預測①，則f′（x）＞0，確定出兩種情況，對兩種情況分別研究預測②的恒成立問題，即可求得實數b的取值范圍．

解答：解：（1）預測①：f（x）在[1，+∞） 上單調遞增；
預測②：f（x）＜130 對x∈[1，+∞） 恒成立；                            
（2）將（1，100）、（2、120）代入到y=

m

x

+n 中，得

100=m+n 120= m 2 +n

，
解得

m=-40 n=140

，
∵f（x）=-

40

x

+140，
∴f′（x）=

40

x2

＞0，
故f（x）在[1，+∞） 上單調遞增，符合預測①；                          
又當x≥4 時，f（x）=-

40

x

+140≥130，
∴此時f（x）不符合預測②；
（3）∵f（x）=a•b^x+c（b＞0，b≠1），
將（1，100）、（2、120）代入到f（x）=a•b^x+c，
∴

100=ab+c 120=ab2+c

，解得

a= 20 b(b-1) c=100- 2 b-1

，
∴f′（x）=ab^xlnb，要想符合預測①，則f′（x）＞0，
∴alnb＞0，
∴

a＞0 b＞1

或

a＜0 0＜b＜1

，
[1]當b＞1時，a=

20

b(b-1)

＞0，此時符合預測①，
但由f（x）≥130，解得x≥logb(

3

2

b2-

b

2

)，
即當x≥logb(

3

2

b2-

b

2

)時，f（x）≥130，
∴此時f（x）不符合預測②；
[2]當0＜b＜1，a=

20

b(b-1)

＜0，此時符合預測①，
又由x≥1，知b^x∈（0，b]，
∴abx∈[ab，0），
∴f（x）∈[ab+c，c），
要使得f（x）也符合預測②，則c≤130，
∴100-

20

b-1

≤130，
又0＜b＜1，解得0＜b≤

1

3

．
綜上所述，b的取值范圍是（0，

1

3

]．

點評：本題主要考查函數模型的選擇與應用．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．本題考查了運用函數、導數的知識解決實際問題的能力．對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．屬于中檔題．