Question

【題目】函數 .

（1）當時，討論的單調性；

（2）若函數有兩個極值點，且，證明： .

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)結合函數的解析式求導可得，分類討論可得：

當時， 在上遞減，

在和上遞增，當時，在上遞增.

(2)由題意結合函數的性質可知： 是方程的兩根，結合所給的不等式構造對稱差函數 ，結合函數的性質和自變量的范圍即可證得題中的不等式.

試題解析：

函數的定義域為，

（1）令，開口向上， 為對稱軸的拋物線，

當時，

①，即時， ，即在上恒成立，

②當時，由，得，

因為，所以，當時， ，即，

當或時， ，即，

綜上，當時， 在上遞減，

在和上遞增，當時，在上遞增.

（2）若函數有兩個極值點且，

則必有，且，且在上遞減，在和上遞增，

則，

因為是方程的兩根，

所以，即，

要證

又

，

即證對恒成立，

設

則

當時， ，故，

所以在上遞增，

故，

所以，

所以.