Question

已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，若a₃是a₁、a₉的等比中項(xiàng)，且S₅=15．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{

1

a 2 n

}的前n項(xiàng)和Tn，求證：T_n＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)a₃是a₁、a₉的等比中項(xiàng)，S₅=15，組成方程組，求出首項(xiàng)與公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）n=1時(shí)，T_n=1；n≥2時(shí)，T_n=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

利用放縮法可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），則
∵a₃是a₁、a₉的等比中項(xiàng)，S₅=15，
∴

(a1+2d)2=a1(a1+8d) 5a1+10d=15

，∴a₁=d=1
∴a_n=n；
（Ⅱ）證明：n=1時(shí)，T_n=1＜2；
n≥2時(shí)，T_n=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+…+

1

(n-1)n

=1+1-

1

2

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2
綜上，T_n＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，正確放縮，利用裂項(xiàng)法求和是關(guān)鍵．