Question

已知{a_n}是公差不為零的等差數列，{b_n}等比數列，滿足b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²．
（I）求數列{b_n}公比q的值；
（II）若a₂=-1且a₁＜a₂，求數列{a_n}公差的值．

Answer 1

分析：（I）設等差數列的公差為d，由題意可得，b₂²=b₁b₃，代入等差數列的通項公式可得  （a₁+d）⁴=a₁²（a₁+2d）²，解方程可得，d=(-2±

2

)a1，分別代入等比數列的通項可求公比
（II）（法一）a₁＜a₂＜0  可得，a₁²＞a₂² 則0＜q＜1，從而可求公比q=3-2

2

結合已知b₂=a₂²=1可得b₁q=1，可求b₁，a₁，進一步可求公差d
（法二）同法一可得公比q，則有

d=(-2+ 2 )a1 a1+d=-1

解方程可得 d

解答：解：（I）：設等差數列的公差為d
∵b₂²=b₁b₃∴（a₁+d）⁴=a₁²（a₁+2d）²
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+2d） 或（a₁+2d）²=-a₁（a₁+2d）
∴d=0（舍去）或 d²+4a₁d+2a₁²=0
∴d=(-2±

2

)a1
（1）當d=(-2-

2

)a1時，q=

a22

a12

=

(a1+d)2

a12

=(1+

2

)2=3+2

2

（2）當d=(-2+

2

)a1時，q=

a22

a12

=

(a1+d) 2

a12

=(1-

2

)2=3-2

2

綜上q=3+2

2

或q=3-2

2

（II）（法一）∵a₁＜a₂＜0∴a₁²＞a₂²，0＜q＜1∴q=3-2

2

∵b₂=a₂²=1即b₁q=1
∴b1=

1

q

=

1

3-2 2

=3+2

2

∴

a

2 1

=3+2

2

∴a1=-1-

2

，∴d=a2-a1=

2

（法二）a₁＜a₂＜0，∴a₁²＞a₂²，0＜q＜1∴q=3-2

2

∴

d=(-2+ 2 )a1 a1+d=-1

得

a1=-1- 2 d= 2

點評：等差數列與等比數列的綜合運算的考查是近幾年高考在數列部分的考查重點與熱點，對考生的基本要求是數列掌握基本定義、基本公式，具備一定的推理運算的能力．