Question

已知{a_n}是公差不為0的等差數列，{b_n}是等比數列，其中a₁=b₁=1，a₄=7，a₅=b₂，且存在常數α，β使得對每一個正整數n都有a_n=log_αb_n+β，則α+β=

4

．

Answer 1

分析：首先利用等差數列的通項公式以及已知條件求出d=2，再由a₅=b₂ 求出公比q，即可求出數列{a_n}和{b_n}的通項公式，再根據a_n=log_αb_n+β得出 2n-1=logα 9 n-1+β．令n=1可得
β=1，再令n=2可得α=3，由此求得 α+β 的值．

解答：解：設公差為d，公比為q，由題意可得 a₄=7=a₁+3d，解得 d=2．
∴a₅=b₂ =a₁+4d=9=1×q，即 q=9．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，b_n=1×9^n-1=9^n-1．再由a_n=log_αb_n+β，可得 2n-1=logα 9 n-1+β．
令n=1可得 β=1，
令n=2可得log_α9=2，解得α=3，
∴α+β=4，
故答案為 4．

點評：本題考查了對數的運算性質、等差數列和等比數列的性質，根據條件求出d、和q的值，是解題的關鍵，屬于中檔題．