Question

【題目】已知定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足f′（x）+2f（x）= ，且f（1）= ，則不等式f（lnx）＞f（3）的解集為（ ）
A.（﹣∞，e3）
B.（0，e3）
C.（1，e3）
D.（e3 ， +∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由題意f′（x）+2f（x）= ，即[e2x（x）]′=lnx+ ， 兩邊積分可知：e2x（x）=xlnx﹣x+ x+C，
∴f（x）= ，
由f（1）= ，代入解得：C= ，
∴f（x）= ，
求導f′（x）= ，由e2x＞0
令g（x）=﹣2xlnx+lnx+x﹣1，求導g′（x）=﹣2lnx+ ﹣1，
令g′（x）=0，解得：x=1，
當x＞1時，g′（x）＜0，函數單調遞減，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，函數單調遞增，
∴當x=1時，f′（x）取最大值，最大值為0，
即f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）= ，單調遞減，
∴由f（lnx）＞f（3），則0＜lnx＜3，
即1＜x＜e3 ，
故不等式的解集（1，e3），
故選：C．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．