Question

【題目】在銳角△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C所對的邊，且 a=2csinA．
（1）確定∠C的大小；
（2）若c= ，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 a=2csinA變形得： = ，

又正弦定理得： = ，

∴ = ，

∵sinA≠0，∴sinC= ，

∵△ABC是銳角三角形，

∴∠C=

（2）解：∵c= ，sinC= ，

∴由正弦定理得： = =2，

即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π﹣C= ，即B= ﹣A，

∴a+b+c=2（sinA+sinB）+

=2[sinA+sin（ ﹣A）]+

=2（sinA+sin cosA﹣cos sinA）+

=3sinA+ cosA+

=2 （sinAcos +cosAsin ）+

=2 sin（A+ ）+ ，

∵△ABC是銳角三角形，

∴ ＜∠A＜ ，

∴ ＜sin（A+ ）≤1，

則△ABC周長的取值范圍是（3+ ，3 ]

【解析】（1）把已知的等式變形為： = ，并利用正弦定理化簡，根據sinA不為0，可得出sinC的值，由三角形為銳角三角形，得出C為銳角，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；（2）由c及sinC的值，利用正弦定理列出關系式，得到a=2sinA，b=2sinB，表示出三角形的周長，將表示出a，b及c的值代入，由C的度數，求出A+B的度數，用A表示出B，把B也代入表示出的周長，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值整理后，提取2 再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據A為銳角，得到A的范圍，進而確定出這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質求出此時正弦函數的值域，即可確定出周長的范圍．
【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義，掌握正弦定理:即可以解答此題．