Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx+k

ex

，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行．
（1）求k的值．
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立方程關(guān)系即可求k的值．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1 x -(lnx+k)

ex

，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，
∴f′（1）=0，即f′（1）=

1-k

e

=0，解得k=1．
（2）∵k=1，∴f（x）=

lnx+k

ex

=

1+lnx

ex

，
f′（x）=

1 x -lnx-1

ex

，
由f′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
故增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求出k的值是解決本題的關(guān)鍵．