Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0；
（1）若直線l與圓C相切，且在x軸和y軸上的截距相等，求直線l的方程．
（2）過(guò)點(diǎn)M（-1，1）的直線l₁與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為P；求P點(diǎn)軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,直線與圓

分析：（1）分類(lèi)討論，設(shè)出直線方程，利用直線與圓相切，可得直線方程；
（2）點(diǎn)P的軌跡是以MC為直徑的圓，即可求出P點(diǎn)軌跡方程．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²+2x-4y+3=0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得（x+1）²+（y-2）²=2
得圓心C（-1，2）r=

2

由直線l在x軸和y軸上的截距相等可假設(shè)：
①當(dāng)相等的截距為0時(shí)，設(shè)直線l：y=kx即kx-y=0
由

|-k-2|

k2+1

=

2

得k=2±

6

∴直線l的方程為：y=（2±

6

）x
②當(dāng)相等的截距不為0時(shí)，設(shè)直線x+y-a=0
由

|-1+2-a|

2

=

2

得a=-1或a=3
∴直線l的方程為：x+y+1=0或x+y-3=0
綜合①②可得，直線l的方程為：x+y+1=0或x+y-3=0或y=（2±

6

）x
（2）由PC⊥AB得PC⊥PM
∴點(diǎn)P的軌跡是以MC為直徑的圓，圓心為（-1，

3

2

），半徑為

1

2

，
則P點(diǎn)軌跡方程為：（x+1）²+（y-

3

2

）²=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓相切的直線方程的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．