Question

已知定義在區間[-π，

3π

2

]上的函數y=f（x）圖象關于直線x=

π

4

對稱，當x≥

π

4

時，f（x）=-sinx．
（1）作出y=f（x）的圖象；
（2）求y=f（x）的解析式；
（3）當a∈[-1，1]時，討論關于x的方程f（x）=a的解的個數．

Answer 1

分析：（1）、先根據當 x≥

π

4

時，f（x）=-sinx畫出在[

π

4

，

3π

2

]上的圖象；再根據圖象關于直線x=

π

4

對稱把另一部分添上即可；
（2）先根據x∈[-π，

π

4

]，得

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，再結合當x≥

π

4

時，f（x）=-sinx即可求出y=f（x）的解析式；
（3）結合圖象可得：關于x的方程f（x）=a有解可以分為四個根，三個根，兩個根三種情況．

解答：解：（1）、y=f（x）的圖象如圖所示．

（2）、任取x∈[-π，

π

4

]，則

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]，因為函數y=f（x）圖象關于直線x=

π

4

對稱，
則f(x)=f(

π

2

-x)，
又當x≥

π

4

時，f(x)=-sinx，則f(x)=f(

π

2

-x)=-sin(

π

2

-x)=-cosx，
即f(x)=

-cosx，x∈[-π π 4 ) -sinx，x∈[ π 4 3π 2 ]

．
（3）、由（1）可知：
當a=-

2

2

，方程3解．
當a∈(-1，-

2

2

)時，方程4解．
當a∈{a|-

2

2

＜a≤1或a=-1}時，方程2解

點評：本題主要考查分段函數的解析式求法及其圖象的作法以及分類討論思想的運用．解決第二問的關鍵在于根據x∈[-π，

π

4

]得到

π

2

-x∈[

π

4

，

3π

2

]．