Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，橢圓的四個頂點構成的四邊形面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓上的一點，過且斜率等于的直線與橢圓交于另一點，點關于原點的對稱點為.求面積的最大值及取最大值時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）取得最大值.此時直線的方程為

【解析】

（1）利用已知條件求出，，即可得到橢圓方程．

（2）設，，則，直線的斜率，利用點差法可得與的關系，求出，設方程為，聯立直線與橢圓方程，列出韋達定理，表示出三角形的面積，即可計算面積最值.

解：（1）根據題意，橢圓：的離心率為，則有，

以橢圓長、短軸四個端點為頂點的四邊形的面積為，則有，

又，解得，.

故橢圓的方程為.

（2）設，，

則，直線的斜率，

由，兩式相減，，

由直線，所以.

連結，因為，關于原點對稱，所以，設方程為，

由，

整理得：，，得.

，，

.

所以當時，取得最大值.此時直線的方程為.