Question

【題目】已知函數，對任意，都有.

討論的單調性；

當存在三個不同的零點時，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 當時，在上單調遞減；當時，在和上單調遞減，在上單調遞增.；(2)

【解析】

（1）根據可得，得到，求導后，分別在和兩種情況下討論導函數符號，得到單調性；（2）根據（1）中所求單調性，否定的情況；在時，首先求得為一個零點；再利用零點存在性定理求解出中存在一個零點；根據，可確定另一個零點，從而可知滿足題意.

（1）由，得

則，

若時，即時，在單調遞減

若，即時，有兩個零點

零點為：，

又開口向下

當時，，，單調遞減

當時，，，單調遞增

當時，，，單調遞減

綜上所述，當時，在上單調遞減；當時，在和上單調遞減，在上單調遞增

（2）由（1）知當時，單調遞減，不可能有三個不同的零點；

當時，在和上單調遞減，在上單調遞增

，又，有

在上單調遞增，，

令，

令，單調遞增

由，求得

當時，單調遞減，

在上單調遞增

故

故，，

由零點存在性定理知在區間有一個根，設為：

又，得，，是的另一個零點

故當時，存在三個不同的零點，，