Question

（1）解關于x的不等式：（a²+a-1）x＞a²（1+x）+a-2（a∈R）；（2）如果x=a²-4在上述不等式的解集中，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把原不等式右邊的未知項移項到左邊進行合并，同時右邊的式子分解因式，然后根據a-1大于0，a-1等于0及a-1小于0三種情況，根據不等式的基本性質把x的系數化為1，分別求出原不等式相應的解集即可；
（2）解法一：分兩種情況：a大于1時，根據相應的解集列出關于a的不等式組；同理a小于1時列出相應的不等式組，求出兩不等式組解集的并集即可得到a的范圍；
解法二：把x=a²-4代入原不等式中化簡，得到關于a的不等式，畫出相應的圖形，根據圖形即可得到滿足題意的a的取值范圍．

解答：解：（1）（a²+a-1）x＞a²（1+x）+a-2，
（a²+a-1）x-a²x＞a²+a-2，
（a-1）x＞a²+a-2，
（a-1）x＞（a-1）（a+2），
當a＞1時，解集為{x|x＞a+2}；
當a=1時，解集為∅；
當a＜1時，解集為{x|x＜a+2}；
（2）解法一：由題意，

a＞1 a+2＜a2-4

或

a＜1 a+2＞a2-4

，
分別化為：

a＞1 (a-3)(a+2)＞0

或

a＜1 (a-3)(a+2)＜0

，
解得：a＞3或-2＜a＜1，
則實數a的取值范圍為（-2，1）∪（3，+∞）；
解法二：將x=a²-4代入原不等式，
并整理得：（a+2）（a-1）（a-3）＞0，
根據題意畫出圖形，如圖所示：

根據圖形得：實數a的取值范圍為（-2，1）∪（3，+∞）．

點評：此題考查了其他不等式的解法，利用了分類討論及數形結合的思想，第二小題有兩種解法：一種是利用轉化的思想，討論a大于1和a小于1，根據第一問求出的解集列出相應的不等式組；另一種是直接把x的值代入原不等式，借助圖形來求解．