Question

關于x的方程8sin(x+

π

3

)cosx-2

3

-a=0在開區間(-

π

4

，

π

4

)上．
（1）若方程有解，求實數a的取值范圍．
（2）若方程有兩個不等實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對已知函數化簡，由題意可得，4sin(2x+

π

3

)=a，由x的范圍先求出2x+

1

3

π的范圍，結合正弦函數的性質可求a的范圍
（2）作出函數y=4sin(2x+

π

3

)在(-

π

4

，

π

4

)上圖象，結合圖象可求a的范圍

解答：解：（1）∵8sin(x+

π

3

)cosx-2

3

-a=0
∴4sinxcosx+4

3

cos2x-2

3

-a=0
∴2sin2x+2

3

cos2x=a
∴4sin（2x+

π

3

）=a
∵-

π

4

＜x＜

π

4

∴-

π

6

＜2x+

π

3

＜

5

6

π
∴-2＜4sin(2x+

π

3

)≤4
∴-2＜a≤4
（2）圖象法：函數y=4sin(2x+

π

3

)在(-

π

4

，

π

4

)上圖象如圖所示
由圖象可得：a的取值范圍為（2，4）

點評：本題主要考查了輔助角公式的及正弦函數的性質的簡單應用，體現了數 形結合思想的應用．