Question

（2013•崇明縣二模）已知函數f(x)=sinx+acos2

x

2

（a為常數，a∈R），且x=

π

2

是方程f（x）=0的解．當x∈[0，π]時，函數f（x）值域為

[-2，

2

-1]

．

Answer 1

分析：利用x=

π

2

是方程f（x）=0的解．求出a，然后通過二倍角的余弦函數兩角和的正弦函數化簡函數表達式，然后求解函數的值域．

解答：解：因為x=

π

2

是方程f（x）=0的解．
所以0=sin

π

2

+acos2

π

4

，所以=-2，
f(x)=sinx-2cos2

x

2

=sinx-cosx-1=

2

sin（x-

π

4

）-1，
x∈[0，π]，所以x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
sin（x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，

2

sin（x-

π

4

）-1∈[-2，

2

-1]．
故答案為：[-2，

2

-1]．

點評：本題考查二倍角的余弦函數，兩角和的正弦函數的應用，三角函數值域的求法，考查計算能力．