Question

【題目】已知△ABC的頂點C在直線3x﹣y=0上，頂點A、B的坐標分別為（4，2），（0，5）．

（Ⅰ）求過點A且在x，y軸上的截距相等的直線方程；

（Ⅱ）若△ABC的面積為10，求頂點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）x－2y＝0或x＋y－6＝0；（2）（0，0）或（，8）

【解析】

試題分析：（1）截距相等分過原點和不過原點兩種情況，利用點斜式求得直線方程為x－2y＝0或x＋y－6＝0（2）由頂點C在直線3x－y＝0上，可設C（x0，3x0），利用點C到直線AB的距離公式表達三角形的高，再利用面積為10建立方程，求得x0＝0或x0＝，進一步得到C點坐標．

試題解析：解：（Ⅰ）ⅰ）若所求直線過原點時k＝，∴ y＝x，即x－2y＝0；

ⅱ）截距不為0時，k＝－1，∴ y－2＝－（x－4） ， 即x＋y－6＝0．

∴所求直線方程為x－2y＝0或x＋y－6＝0．…………5分

（Ⅱ）由頂點C在直線3x－y＝0上，可設C（x0，3x0），

可求直線AB的方程為3x＋4y－20＝0，

則頂點C到直線AB的距離d＝＝|3x0－4|，

且|AB|＝＝5；

∴S△ABC＝|AB|·d＝10，即|3x0－4|＝4，∴x0＝0或x0＝，

故頂點C的坐標為（0，0）或（，8）．

考點直線的方程，點到直線距離公式，三角形面積公式．