Question

【題目】如圖，設點F1(－c，0)、F2(c，0)分別是橢圓C：的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點，且最小值為0．

⑴求橢圓C的方程；

⑵若動直線l1，l2均與橢圓C相切，且l1∥l2，試探究在x軸上是否存在定點B，點B到l1，l2的距離之積恒為1？若存在，請求出B坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】⑴⑵滿足題意的定點B(－1，0)或B(1，0)

【解析】

試題分析：（1）設P（x，y），可得向量坐標關于x、y的形式，從而得到，結合點P為橢圓C上的點，化簡得，說明最小值為，從而解出，得到橢圓C的方程．（2）當直線斜率存在時，設它們的方程為y=kx+m與y=kx+n，與橢圓方程聯解并利用根的判別式列式，化簡得且，從而得到m=-n．再假設x軸上存在B（t，0），使點B到直線的距離之積為1，由點到直線的距離公式列式，并化簡去絕對值整理得或，再經討論可得t=±1，得B（1，0）或B（-1，0）．最后檢驗當直線斜率不存在時，（1，0）或（-1，0）到直線l1，l2的距離之積與等于1，從而得到存在點B（1，0）或B（-1，0），滿足點B到的距離之積恒為1

試題解析：⑴設，則有

，

由最小值為0得，

∴橢圓C的方程為．

⑵①當直線斜率存在時，設其方程為

把的方程代入橢圓方程得

∵直線與橢圓C相切，∴△，化簡得

同理，

∴，若，則重合，不合題意，∴

設在x軸上存在點，點B到直線在距離之積為1，則

，即，

把代入并去絕對值整理，

或者

前式顯然不恒成立；而要使得后式對任意的恒成立

則，解得；即或

②當直線斜率不存在時，其方程為和，

定點(－1，0)到直線的距離之積為；

定點(1，0)到直線的距離之積為；

綜上所述，滿足題意的定點B(－1，0)或B(1，0)