Question

（2012•江蘇二模）如圖，已知橢圓C：

x2

4

+y2=1，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點．
（1）設P是橢圓C上任意一點，若

OP

=m

OA

+n

OB

，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P的坐標，通過

OP

=m

OA

+n

OB

，推出m，n與P的坐標的關系，推出定圓的方程．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，得到x₁，x₂的關系．求出MN的距離以及O到直線MN的距離，然后證明△OMN的面積是否為定值．

解答：解：（1）易求A（2，1），B（-2，1）．…（2分）
設P（x₀，y₀），則

x02

4

+y02=1．由

OP

=m

OA

+n

OB

，得

x0=2(m-n) y0=m+n

，
所以

4(m-n)2

4

+(m+n)2=1，即．故點Q（m，n）在定圓x2+y2=

1

2

上．…（8分）
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

y1y2

x1x2

=-

1

4

．
平方得x12x22=16y12y22=(4-x12)(4-x22)，即x12+x22=4．…（10分）
因為直線MN的方程為（x₂-x₁）y-（y₂-y₁）x+x₁y₂-x₂y₁=0，
所以O到直線MN的距離為d=

|x1y2-x2y1|

(x2-x1)2+(y2-y1)2

，…（12分）
所以△OMN的面積S=

1

2

MN•l=

1

2

|x₁y₂-x₂y₁|=

1

2

x12y22 +x 2 2 y 2 1 -2x1x2y 1y2

=

1

2

x12(1- x22 4 )+x22(1- x12 4 )+ 1 2 x12x22

=

1

2

x12+x22

=1．
故△OMN的面積為定值1．…（16分）

點評：本題考查圓的方程的求法，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，考查轉化思想計算能力．