Question

(本小題滿分13分)
某化工廠生產某種產品，每件產品的生產成本是3元，根據市場調查，預計每件產品的出廠價為x元(7≤x≤10)時，一年的產量為(11－x)²萬件；若該企業所生產的產品全部銷售，則稱該企業正常生產；但為了保護環境，用于污染治理的費用與產量成正比，比例系數為常數a(1≤a≤3).
(1)求該企業正常生產一年的利潤L(x)與出廠價x的函數關系式；
(2)當每件產品的出廠價定為多少元時，企業一年的利潤最大，并求最大利潤.

Answer 1

（1）L′(x)＝(11－x)(17＋2a－3x).
（2）當1≤a≤2時，則每件產品出廠價為7元時，年利潤最大，為16(4－a)萬元.當2<a≤3時，則每件產品出廠價為元時，年利潤最大，為(8－a)³萬元.

解：(1)依題意，L(x)＝(x－3)(11－x)²－a(11－x)²＝(x－3－a)(11－x)²，x∈[7,10].(4分)
(2)因為L′(x)＝(11－x)²－2(x－3－a)(11－x)＝(11－x)(11－x－2x＋6＋2a)
＝(11－x)(17＋2a－3x).
由L′(x)＝0，得x＝11?[7,10]或x＝.(6分)
因為1≤a≤3，所以≤≤.
①當≤≤7，即1≤a≤2時，L′(x)在[7,10]上恒為負，則L(x)在[7,10]上為減函數，所以[L(x)]_max＝L(7)＝16(4－a).(9分)
②當7<≤，即2<a≤3時，[L(x)]_max＝L()＝(8－a)³.(12分)
即當1≤a≤2時，則每件產品出廠價為7元時，年利潤最大，為16(4－a)萬元.當2<a≤3時，則每件產品出廠價為元時，年利潤最大，為(8－a)³萬元.(13分)