Question

【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點， 是橢圓上一點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓交于兩點，且，試求點到直線的距離.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 原點到直線的距離.

【解析】試題分析：（1）根據等式關系可得，求出c值，然后結合橢圓定義和已知等式關系聯立方程即可得a，進而求出標準方程；（2）先驗證斜率不存在時情況，然后再討論斜率存在時，由得: ，故設，得，連立方程得出韋達定理代入等式得k，n的關系，在計算距離即可得出結論.

解析：（Ⅰ）由得: ，化簡得： ，

解得： 或

因為，所以，

因為

所以，則，又，

所以橢圓的標準方程為： ；

（Ⅱ）由題意可知，直線不過原點，設，

①直線軸，直線的方程且，

則

由得: ,

即，解得： ，

故直線的方程為，∴原點到直線的距離，

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

則，消去整理得： ，

， ，

則=

由得,

故+，

整理得： ，

即 ①

原點到直線的距離， ②

將①代入②，則，∴，

綜上可知：原點到直線的距離．