Question

【題目】已知， ， .

（1）討論函數的單調性；

（2）記，設， 為函數圖象上的兩點，且.

（i）當時，若在， 處的切線相互垂直，求證： ；

（ii）若在點， 處的切線重合，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先求函數導數，轉化為研究導函數零點，即方程=0的根的情況，當，導函數不變號，在上單調遞減，當時，有兩個不等根，列表分析導函數符號變化規律，確定對應單調區間，（2）（i）利用導數幾何意義化簡條件： 在， 處的切線相互垂直，得，利用基本不等式證明不等式，（ii）先分別求出切線方程，再根據切線重合得，消元得，利用導數研究函數， 單調性，確定函數值域，進而確定的取值范圍.

試題解析：解：（1），則，

當即時， ， 在上單調遞減，

當時即時， ，

此時在和上都是單調遞減的，在上是單調遞增的；

（2）（i），據題意有，又，

則且， ，

法1： ，

當且僅當即， 時取等號.

法2： ， ，

當且僅當時取等號.

（ii）要在點處的切線重合，首先需要在點處的切線的斜率相等，

而時， ，則必有，即， ，

處的切線方程是：

處的切線方程是： ，

即，

據題意則， ，

設， ， ，

設， 在上恒成立，

則在上單調遞增，

則， 在上單調遞增，

則，再設， ，

， 在上單調遞增， ，

則在恒成立，

即當時， 的值域是，

故，即為所求.